Header image

ПЕРСОНАЛЬНЫЙ САЙТ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ:

СУКОВОЙ НАТАЛЬИ АЛЕКСЕЕВНЫ

Учитель - помощник в искании ребёнком путей к совершенству, в процессе его пробуждений и становления личности. Каждый день, каждый урок пусть ученик удивляется доброте учителя, его профессионализму и эрудиции.

Симметрические уравнения

           

БАЗАЛУКОВА ДАРЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА

9-А класс         

             Тема "Уравнения и системы уравнений" - одна из ключевых тем школьного курса математики. На ней основаны темы решения неравенств и текстовых задач, аналитическое решение геометрических задач. Если говорить о практическом применении, то можно сказать, что ни одна экономическая модель не обходится без этой темы. Практически все естественные науки тем или иным образом затрагивают тему решения уравнений и систем уравнений. 

            В курсе алгебры 7-9 классов мы изучили линейные уравнения (в том числе, и содержащие модули), квадратные уравнения и уравнения, которые сводятся к квадратным, дробные рациональные уравнения и уравнения высших степеней. Именно последним посвящен этот мини-учебник, а если конкретнее особому виду уравнений высших степеней – симметрическим уравнениям.

Примите к сведению 

            В природе и технике часто встречаются геометрические симметрии: зеркальная симметрия, когда одна половина предмета зеркально-симметрична другой, и центральная симметрия, когда предмет переходит сам в себя при повороте относительно некоторого центра. Однако понятие симметрии гораздо шире, чем в указанных случаях, в общем случае под симметрией понимается неизменность при какой-либо процедуре не только предметов, но и физических явлений, математических формул, уравнений и т. д. В данном мини-учебнике пойдет речь о симметрии алгебраических уравнений и о том, как использовать это свойство, чтобы находить решения или упрощать уравнения.

          Под симметриями математических уравнений будут пониматься преобразования, сохраняющие вид уравнений. 


Уравнение называется
симметрическим, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов совпадают.

Рассмотрим некоторые  виды таких уравнений.

  1. Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид  ах3 + bx2 + bх + a = 0.

           Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрического уравнения:

          а) У любого уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

         б) У такого уравнения корней, равных нулю, нет.

         в) При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

        Пример                       х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

Решение

Так как это уравнение нечетной степени, то у него обязательно есть корень, равный   – 1, поэтому разделим левую часть на (х+1) и получим данное разложение на множители.

                                                                                     х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

              Произведение нескольких множителей равно нулю, когда каждый из множителей или хотя бы один из них равен нулю. Но квадратное уравнение х+х+1 =0 не имеет корней, т.к. дискриминант – число отрицательное. Значит данное уравнение имеет единственный корень, равный   -1.


Ответ: -1.


                                                                                                                    


                                                                                                                                                                                                                                   Проверь себя

2. Уравнения называются
симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид   ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.

Алгоритм  решения подобных уравнений таков:

а) Разделить обе части исходного уравнения на х2.

б) С помощью группировки привести уравнение к виду:

                                           а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.

в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).

г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:

                                                 аt2 + bt + c – 2a = 0.

д) Сделать обратную подстановку.

Пример 2                                     4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.

Решение

                                                                                                              Проверь себя

Назад


Комментарии:

Ещё никто не оставил комментарий. Будьте первым!

Чтобы оставлять комментарии Войдите либо Зарегистрируйтесь